基于OBE理念的数学分析课程项目制教学模式研究

  闫志忠  

（北京理工大学  数学与统计学院  北京  100081）

[摘  要]：针对目前国内大类书院制培养下的数学分析教学面临的突出问题，基于OBE理念，提出以项目为载体，数学为工具的数学分析项目制课程教学模式，对数学分析教学与专业课程进行有机结合，根据学生的专业要求更新教学内容，坚持分层次教学，通过制订不同的教学大纲，开展专题研究，合理决定教学侧重点等措施，使数学分析教学与专业培养目标紧密结合，为学生专业学习夯实数学基础，符合OBE教育理念和人才成长规律。

[关键词]：OBE理念；数学分析；专业结合；项目制

[基金项目]：2021,北京理工大学，基于OBE理念的大类《数学分析》课程项目制教学探索与实践（2021-1）；北京理工大学2021年度教育教学改革重点项目，数学公共基础课程群课程思政建设 （2021-114-3）。

[作者简介]：闫志忠（1976-），男，山东莱阳，博士后，北京理工大学数学与统计学院，副教授，研究方向：应用数学 。

[中图分类号] O177.5    [文献标识码] C   

一、引言

成果导向教育理念（Outcomes-based education）,简称OBE理念，强调以学生为中心，以学生发展为目的，重视学生的学习成果。基于OBE理念，不少学者和教师进行了OBE理念下高等数学课程的教学研究^[1-6]。例如，黄永辉等介绍了数学分析中的一个教学案例，挖掘数学分析课程中蕴含的思政元素，探讨了基于OBE理念下数学分析课程思政的教学研究^[1]。张爱清等深刻分析了高等数学的教学现状，将OBE理念融入高等数学教学，从教师教学理念的更新、教学目标的制订、教学方法的改革、考核方式的完善等方面探讨了高等数学教学模式的改革^[2]。张杰等^[3]总结了数学分析课程的特点及在教学过程中存在的问题，然后将OBE教学理念应用于这门课程教学中。从课程大纲制定、启发式教学模式、基于MATLAB科学计算软件的数学实验和课程评价标准和方式四个方面阐述了OBE理念在数学分析课程教学中的应用。骆桦等^[7]探讨了数学分析教学与信科专业结合的教学模式。大类《数学分析》课程是理工科非数学本科专业学生学习的一门重要的必修基础课。如果把数学比喻成一个王国的话，那么数学分析就是这个王国的基础语言。随着人工智能、信息科技、科学计算以及金融数学的飞速发展，数学分析的思想和方法几乎渗入现代科技的所有领域，越来越多的行业迫切需要高深的现代数学知识，而要运用数学来创造高技术，就必须掌握好数学分析这一重要的数学王国语言。现代科学技术正在由工程层面的创新转化为基础理论层面的研究，而基础理论层面的研究需要抽象思维、逻辑推理、科学计算和空间想象等能力。与其他学科相比，数学分析集中体现了这些能力的培养。当今谁能占领数学最高地，谁就能占领技术的最高地。数学在现代技术进步中，扮演着越来越重要的角色。该课程所讲授的数学基本概念、理论和方法不仅为学生进一步学习打下坚实基础，而且是构成学生科学素养的重要组成部分，在培养学生树立科学的世界观、增强学生分析问题和解决问题的能力、培养学生的探索精神和创新意识等方面，具有不可替代的作用。

目前，数学分析教学中，教学方面的问题是讲的太细，太繁琐，过于死条，注重知识的讲解较多；教学大纲、教案也注重讲授。学生方面的问题是被动接受知识，不愿意思考，不愿意交流，所以学生一直把数学分析当作一项任务来完成，没有学习的主动性。数学分析课程本身的重要性和特点决定了教学改革的难度比较大，因为数学分析讲授的是传统的经典数学理论，学生和老师已经习惯了传统的教学模式。而且，传统的数学分析教学比较注重培养和提高学生数学科学思维和科学素养，重点讲解数学概念、数学模型和科学思路，而很少将数学理论知识与专业知识相结合，使得学生在大一学习数学分析时由于对自己的专业课程并没有足够的认识，并未理解该课程的应用价值，造成一些学生对数学分析重视程度不够，学习积极性不高，学习动力不足，学习效果不理想。因此，改革传统的数学分析教学内容和教学模式，势在必行。针对目前国内大类书院制培养下的数学分析教学面临的突出问题，基于OBE理念，本文提出了以项目为载体，数学为工具的数学分析项目制课程教学模式，对数学分析教学与专业课程进行有机结合，根据学生的专业要求更新教学内容，坚持分层次教学，通过制订不同的教学大纲，开展专题研究，合理决定教学侧重点等措施，使数学分析教学与专业培养目标紧密结合，为学生专业学习夯实数学基础，符合OBE教育理念和人才成长规律。

二、与专业结合的“数学分析”教学实践

  以数学知识教育为重点，素质教育为核心、能力培养为手段，充分发挥数学学科优势，将数学分析基础知识融入学生专业知识中，建立适合专业特点的数学分析教学课程内容体系和案例，努力实现学生的基础知识、科学素养和创新能力的全面提升。

1.把数学分析教学内容与专业知识相结合

  我们在设计数学分析教学内容体系时，有目的地将某一数学知识点进行外延，选择专业相关例题，通过举例将数学科学思维和素养与专业知识有机融合，使得学生理解数学分析课程在其专业课程中的实用价值，提升学生对数学分析课程的重视，培养学生的学习兴趣和积极性。如对信控专业和机电专业的学生，结合电容式加速度传感器进行授课，对传感器件的数学模型进行分析。为培养学生树立工程意识，近年来我们在教学中尝试引入工程实例，结合数学在工程技术中的应用进行教学实践。例如：我们通过热力学中的波动方程进行数学分析课堂例题的真实化、专业化授课。

2.以专业中的数学问题作为案例开展专题研究

   在讲授基本的数学分析基础知识之后，针对不同的专业有所侧重讲述与专业相关的数学知识模块和专业实践案例。通过设计编制出用数学概念引入、数学思想的建立、数学方法的解决手段以及数学与专业相对应的专业案例，强调数学概念和专业知识的相通性，达到提高学生兴趣、树立学习数学的信心、巩固数学知识的目的。

3.不同专业制订不同的授课计划

   根据各个专业特点，针对专业实际调整和充实内容，精选补充最基本、最必要、最实用的内容，制订不同的授课计划。教学内容和教学方法依据授课专业进行扩充和删减。数学分析通常分为“近代模块、极限和函数连续模块、微分学模块、积分学模块、级数和微分方程模块、数学实验模块”等。

1） 力学、机械专业: 在讲述数学知识的时候，重视一些数学思想，例如数学分析里的微元法的思想，对工程力学和固体力学专业学生，讲授材料的强度、刚度和挠度等概念，同时联系风阻尼器原理渗透数学分析微元法的思想。结合前沿研究课题，把力学、机械专业中的数学问题提炼出来进行讲授，例如，声子晶体在波调控领域展现出了超出常规材料的力学性能，其最重要的特性就是波带隙特性，在包括声学二极管、声学斗篷、热力学斗篷等方面具有潜在的重要应用，在求带隙时，从数学方面提炼的问题就是由偏微分方程控制的波动方程在声子晶体中的传播问题，探讨偏微分方程的特征值的求解问题。此外，噪声、振动与声振粗糙度控制技术（NVH技术）在现今的汽车制造技术中日趋重要，汽车的减振降噪是国内各大汽车制造厂商面临的巨大技术难题。从减振降噪材料的应用方面探讨如何更好地实现汽车的减振降噪。这里的减振降噪材料是声子晶体，它的带隙特性能够在汽车减振降噪中发挥屏蔽特定频率的声波的重要作用。声波带隙是指在一定频率范围内完全禁止声波在材料中的传播，这个频率范围就称为带隙。数学上提炼的问题就是对声波方程，也就是偏微分方程进行计算，从而得到特征方程，由此得到频散图，进而对声波带隙进行研究。

2） 信息科学、计算机专业: 结合计算机课程，逐渐掌握一些常用的数学软件，如Matlab, Mathematica，学会用这些软件来求函数表达式的极限、微分和积分、求代数方程的根等，从而在大学低年级就有了较熟练使用计算机的能力，不但增强对课堂所学知识的理解，提高学习数学的兴趣，而且为信息科学，计算机专业后续课程“科学计算与信息处理”两大方向奠定良好的基础。对计算机专业，可以介绍蒙特卡罗方法，因为该方法应用于求解微分方程是和电子计算机的发展有着很大的关系，因为在电子计算机出现以前要进行蒙特卡罗模拟需要重复进行很多次的试验，并记录结果，这是十分浪费资源也是很没效率的，但是在计算机出现之后，这些试验都可以通过生成随机数在电子计算机上进行模拟，大大增加了蒙特卡罗方法的效率。

早在40年代，就有人注意到了可以使用蒙特卡罗方法在求解一些复杂的微分方程，尤其是求解关于描述核粒子在介质中传输的玻尔兹曼方程和Fokker-Planck方程以及薛定谔方程，并且讨论了蒙特卡罗方法求解这些问题的可行性。在50年代，有应用蒙特卡罗方法来求解二维的位势方程的初值问题，并与精确解作比较的工作。随着计算机科学的发展，使用电子计算机来进行蒙特卡罗模拟变得越来越方便，运用蒙特卡罗方法求解问题不再像以前那样没有效率，因此运用蒙特卡罗方法求解微分方程也越来越受到关注，在60年代，有使用蒙特卡罗马尔可夫链方法在计算机上实现求解抛物型偏微分方程的应用，在一些文献中，我们可以看到在蒙特卡罗模拟的次数N=1000的时候用蒙特卡罗马尔可夫方法得到的扩散方程的数值解和精确解的误差是很小的，而且文章中也说明了这种蒙特卡罗模拟在当时的一些简单的计算机上是十分容易实现的。这之后随着计算机科学的进一步发展，蒙特卡罗方法在求解微分方程方面得到了更加广泛的应用，一些学者依靠蒙特卡罗方法来求解决热传导问题，并且详细地讨论了在双介质条件下的格林函数，并且讨论了在正弦热源、均匀热源以及给定表面温度时候的热传导方程的求解并推广到了三介质情形，并且给出了相应情形下的算例，我们可以看到在各种情形下蒙特卡罗方法都适用，而且蒙特卡罗方法计算的结果误差都是可接受的，文章中详细讨论了误差的原因，并且展示了在电子计算机上是如何实现用蒙特卡罗方法求解热传导方程的。一些学者利用了专用数字计算机来进行蒙特卡罗模拟求解Poisson方程，并且通过算例表明在专用计算机上使用蒙特卡罗模拟求解Poisson方程时得到的结果会比一般的电子计算机求解相同问题的时候会有更快的速度，并且得到的解的精度会比一般的电子计算机上的解精度提高了两个小数点。通过蒙特卡罗方法随着计算机的发展的关系，让计算机专业的学生体会到数学方法与计算机的倚赖关系，使得学生在计算机硬件方面的专业学习更有针对性和兴趣性。

4．合理规划教学侧重点

  以往数学分析的课程教学由于受到兼顾各个专业学习的局限性，部分知识对于一些专业学生而言学非所用，并且存在理论脱离实际，重理论学习轻能力培养等现象。这就需要在教学内容的改革中注重专业知识以及教学内容的选择，在保持数学分析内容体系基本完整的前提下，在充分了解课程内容与学生所学专业课程的联系情况的基础上，针对不同的理工科专业，有侧重的安排数学分析教学内容，构建合理、科学的数学分析与专业相结合的特色知识模块。

三、实践效果

  教师结合专业特点给出一些有意义和有价值的论文题目，这些题目是从专业中提取出来的研究课题，学生通过图书馆查阅文献资料，分析、归纳、总结写成论文作为平时成绩依据。通过结合专业情况进行数学分析实践教学，取得了一定的效果。成果如下（1）通过修订教学大纲、制定不同专业教学计划、改革教学内容和教学方法等措施，满足了不同层次、不同专业学生的需要。（2）数学分析任课教师与专业学院教师合作优选出完整的专业实际问题，编制了包括数学问题提出、问题解决、对数学知识掌握和专业学习问题极大帮助的案例库，为学生学好专业知识起到事半功倍的作用。（3）数学分析“面向专业、突出应用”的教学模式为兄弟院校和物理等其它课程教学提供了借鉴。经过一年的教学实践，笔者对结合专业知识的数学分析教学效果进行了调查分析，参与调查的是来自于北京理工大学数学与统计学院、徐特立学院和求是书院大约1000名学生，绝大部分学生都认为数学分析中有机融合专业知识和案例，能够调动上课积极性，提高学习效率，具体分析结果如下图。

四、结论

通过与专业有机融合的数学分析教学实践，面向专业，以专业为导向，突出应用，倡导从专业中来，到专业中去的教学理念，大大方便了后继专业课程的教学，提升了学生综合素质的提高。

[参考文献]

[1] 黄永辉，丛二勇，苑成军.OBE理念下数学分析课程思政教学研究[J]. 数理化学习，2021（2）：3-5.

[2] 张爱清，汪敏，王岑，马石安.基于OBE理念的“高等数学”教学模式改革研究[J].科技文汇，2020（482）：51-52.

[3] 张杰，林爽. 基于OBE理念的数学分析课程改革与实践[J]. 教育进展，2020，10（4）：533-535.

[4] 唐莉. 基于OBE理念的高等数学的主体性教学模式探析[J]. 科技视界，2020：21-22.

[5] 刘艳芹，董立华，闫立梅. OBE理念下“数学分析”课程思政建设的探索与实践[J]. 德州学院学报，2021，37：78-81.

[6] 王俊俊，张晓飞. 基于OBE导向的数学分析课程教学改革的一些探索[J]. 2021(05):204-205.

[7] 骆桦，周尉. 数学分析教学与信科专业结合模式浅探[J]. 2005(08):51-52.

Research on Project-based Teaching model of large categories of mathematical analysis courses based on OBE concept

Yan Zhizhong

(School of mathematics and statistics, Beijing Institute of technology, Beijing 100081)

Abstract: in view of the outstanding problems faced by the teaching of mathematical analysis under the cultivation of large categories of academy system in China, based on the OBE concept, this paper puts forward the teaching model of mathematical project system course with project as the carrier and mathematics as the tool, organically combines the teaching of mathematical analysis with professional courses, updates the teaching content according to the students' professional requirements, and adheres to hierarchical teaching, By formulating different syllabus, carrying out special research, reasonably determining the teaching focus and other measures, the teaching of mathematical analysis is closely combined with the professional training objectives, laying a solid mathematical foundation for students' professional learning, which is in line with OBE education concept and talent growth law.

Key words: OBE concept; Mathematical analysis; Professional combination; Project system