基于对比教学模式下的分析力学课堂教学探讨
发布时间：2014年06月12日 09:46 点击： 677 发布：武汉大学
基于对比教学模式下的分析力学课堂教学探讨
原亚南，尹颢，张作启
（武汉大学 土木建筑工程学院，湖北 武汉 430072）
[摘 要]基于对比教学模式下的多层次理论，结合分析力学的课程特点，针对本课程中的理论知识晦涩、内容体系与理论力学相关度高以及应用程度低等问题提出了教学实施方案。该方案通过采用三种课堂对比形式，在课堂上通过联想对比的方式加深同学们对知识点的掌握和更新，培养学生分析、评价以及质疑的能力，从而达到培养创新人才的目的。
[关键词] 分析力学; 对比课堂;创新能力;质疑能力
[基金项目]2019年，武汉大学，中央高些基本科研业务费专项资金项目：“骨量-微结构-骨材料”对骨质疏松症性能劣化影响的生物力学研究（2042019kf0223）。
[作者简介]原亚南，（1989-），女，河南濮阳， 博士，武汉大学土木建筑工程学院工程力学系，讲师，研究方向：复合材料力学；尹颢，（1985-），男， 湖北武汉， 博士，武汉大学土木建筑工程学院工程力学系，副教授，副系主任，研究方向：相变固体力学；张作启，（1982-），男，山东曹县，博士，武汉大学土木建筑工程学院工程力学系教授、系主任，研究方向：生物力学与仿生
[中图分类号] O316 [文献标识码]A [文章编号] [收稿日期]2020-10-25
近些年来，《分析力学》课程在大学中的工科院系开始范围越来越大。然而，从现有的教学课堂探讨的成果来看，较少看到以分析力学课程作为教学改革的对象进行研究的。所谓的经典力学是指创立于1687年的牛顿力学、创立于1788年的拉格朗日力学以及创立于1834-1835年的哈密顿力学。其中，理论力学主要讲授以牛顿力学为基本框架的静力学和动力学课程；牛顿力学着重分析位移、速度、加速度以及力等矢量，故称为矢量力学。与之相对的是，由拉格朗日力学和哈密顿力学组成的分析力学[1-3]。在拉格朗日的《分析力学》的经典著作中，没有涉及到一副图，自始至终都采用了解析的方法[4]。分析力学的特征是以普遍原理为基础，利用标量形式的广义坐标来取代矢量力学的矢径[5]。
根据笔者前期调查结果表明，在初次接触分析力学课程时，超过70%的同学认为解析公式太多，感觉难度很大（如图1所示）。因此，分析力学课堂教学面临的一个非常大的困难和挑战是：如何在满是解析表达形式的理论知识讲授的课堂中提高同学们的兴趣和专注力。
基于对比教学模式下的多层次理论，结合分析力学的课程特点，针对本课程中的理论知识晦涩、内容体系与理论力学相关度高以及应用程度低等问题提出了教学实施方案。该方案通过采用三种对比形式，突出了在课堂上通过联想对比的方式加深同学们对知识点的掌握和更新，培养学生分析、评价以及质疑的能力，从而达到培养创新人才的目的。
图1刚开始预习分析力学时，同学们对这门课的第一印象
1. 牛顿力学与分析力学的对比讲授
由于大部分院校在安排分析力学课程讲授前，已经学习了理论力学（大部分内容讲授的是牛顿力学），因此，在学习分析力学课程时，同学们会有如下疑问：既然牛顿力学和分析力学都是在研究质点和刚体的运动方程，我们已经学习了牛顿力学，为什么还要学习分析力学？这个问题在笔者第一次给同学们上分析力学课程的时候就被问道。笔者在认真反思这个问题，最初的想法是，既然同学们已经了解和熟悉了牛顿力学的理论知识，笔者就没必要花费宝贵的课时来重复提及了。现在回过头来，细细想来，当初的想法或许正是引起同学们疑问的根本源头。或许笔者要做的不是去回避在分析力学课上讲授牛顿力学，恰恰相反，应该直面这两者的区别，让同学们知其然并知其所以然，掌握牛顿力学和分析力学的异同，并理解学习分析力学的必要性和重要性。那么在课程最开始，笔者应该以下面这张图（图2，[6]）来开始分析力学这门课程。
图2 牛顿力学与分析力学发展历程对比图[6]
图2很好的总结了从牛顿力学开始到发展拉格朗日力学最后到哈密顿力学发展的完整历程。此外，牛顿力学的发展主要服务于研究运动力学，应用包括但不限于：有心力场中的二体运动、非惯性系下的运动、刚体运动、非线性动力学和混沌、生命力学以及连续介质力学。而拉格朗日力学从变分法和达朗贝尔方程演变而来，又通过勒让德变换和哈密顿原理发展称为哈密顿力学。而哈密顿力学为后来的量子力学、相对论、统计力学等提供了理论基础[7]。相对与牛顿力学，分析力学方法对其他领域的发展如量子力学、相对论等的影响更加深远。也通过对比讲解牛顿力学和分析力学，不仅让同学们站在更高的角度来审视学习分析力学的动机，更能够鼓励同学们自主去探索基于分析力学方法衍生出的如量子力学等新的领域，激发他们的科研兴趣。
2. 拉格朗日力学和哈密顿力学的对比讲授
在解决了同学们的关于已经学习了牛顿力学为什么还要学习分析力学的疑问后，是不是之后课程的学习就是一帆风顺呢，并不是的。在学习完拉格朗日力学，进入哈密顿力学时，同学们还会有新的疑问：老师，既然很多运动方程明明通过拉格朗日第二类方程就能很容易的求解，那为什么还要学习哈密顿原理，来要去费力的求解哈密顿作用量呢？可见，即使在课堂上没有给同学们灌输对比教学的模式，同学们自己都会对以往的知识点进行对比，总是选取最容易理解最好求解的途径来解题。事实上，在课堂上讲述的很多例子确实会有多种求解方式，也确实有一些明明用拉格朗日第二方程来求解很容易，却仍然在课堂上用哈密顿原理来求解的例子。要想打消同学们的疑问，笔者仍然可以采取对比讲授模式：拉格朗日力学和哈密顿力学，要想讲清楚他们的本质区别和联系，应该从表1 角度来着手讲述。
表1 经典力学特点对比表[6, 8]
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经典力学类型 |
创立时间 |
类型 |
对应的空间 |
对应的几何 |
方程类型 |
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牛顿力学 |
1687年 |
矢量力学 |
欧式空间 |
欧式几何 |
二阶微分方程 |
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拉格朗日力学 |
1788年 |
分析力学 |
位形空间 |
黎曼几何 |
f个二阶微分方程组 |
|
哈密顿力学 |
1834-1835年 |
分析力学 |
相空间 |
辛几何[9] |
2f 个一阶微分方程组 |
表1非常清楚的阐述了拉格朗日力学和哈密顿力学的区别，不仅体现在对应的空间和几何上，还体现在方程类型上[10]。
拉格朗日力学的f个二阶微分方程组：
(1)
而哈密顿力学的方程类型是2f 个一阶微分方程组：
(2)
哈密顿正则方程在微分方程的求解上带来了很大便利。
综合来看，哈密顿正则方程和拉格朗日方程是等价的。笔者就可以给同学们提出一个问题“拉格朗日力学和哈密顿力学是完全等价的，这两种力学谁更基本？ 在某种意义上，拉格朗日力学更基本，因为它是基于变分原理，并且它可以以最直接的方式推广到广义相对论的理论框架中；2）在另外一种意义上，哈密顿力学则更基本，原因是它是以能量为基本物理单元，并且哈密顿力学可以直接与量子力学进行关联。这个问题的讨论，不仅可以鼓励同学们自己去思考分析力学中两大力学体系：拉格朗日力学和哈密顿力学的本质区别，还给同学们普及了两种力学对后来的广义相对论和量子力学的支撑作用。这样的效果会使得同学们对分析力学“有什么用“有了更加清晰的认识。
3. 哈密顿的光学-力学对比讲授
将经典力学中的哈密顿原理与几何光学进行类比讲授的目的是为了凸显最小作用量原理的重要性。打开朗道教程的《力学》[11]、《场论》和费曼的《费曼物理学讲义》[12]，均是以最小作用量原理作为主线，这也凸显出了最小作用量原理是目前描述物理定律中最简单的形式。最小作用量原理基于能量泛函变分，由于能量是标量，具有简单的可加性。在分析力学课堂上给出哈密顿光学与力学的对比讲授，目的就是要让同学们了解，最小作用量原理应用广泛，不仅可以解决系统复杂的运动学问题，还可以通过类比思想去理解如光学的问题。
为了使光学称为像拉格朗日所赋予力学那样的一门正规科学，哈密顿阐述了几何光学与经典力学的相似性，称为哈密顿的光学-力学类比，如表2所示。该类比表明：在力学中描述粒子的运动轨迹，就像在几何光学中描述光线的传播路径一样，垂直于这轨道的等作用量曲面，就如同垂直于路径的等传播时间的曲面。而描述粒子运动的最小做用量原理，就如同描述光线传播的费马原理。
同时该部分内容也有意提醒同学们，力学或物理学很多定理是相同的。课堂上讲授的某一个原理，虽然只是讲授它的一个应用场景，事实上，在描述物理场景时，这个原理比如最小作用量原理可以应用很多其他方面。启发同学们要多思考，学习分析力学的目的不只是掌握某一具体的原理，求解某一具体的运动方程，真正需要获得的是如何去理解这个宇宙的运行模式，用什么样的视角和途径来解释这个世界。
表2 哈密顿的光学-力学类比[6]
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力学 |
光学 |
特征函数为作用量：
m为质量， 为动能 |
特征函数为光的传播时间T：
 和 分别位折射系数和光速
 为路径线元 |
被积函数为质量的动量：
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被积函数为相速度的倒数：
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莫培督原理：
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费马原理：
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质点的轨迹始终与等作用量的曲面相交 |
光线始终与等时曲面相交 |
4. 教学效果反馈
笔者对2019秋季学期的分析力学课堂授课的同学（调查取样为28份）进行了教学效果的反馈情况收集整理，采用对比教学模式下的分析力学课堂评价中，53.57%的学生认为，通过对比教学模式进行分析力学讲授，较为有用和针对性；21.43%的学生表示非常喜欢这种讲授模式，17.86%同学觉得对比教学模式非常有用和针对性。低于10%的学生觉得效果不明显，效果反馈情况如图3所示。此外，笔者还针对在分析力学课堂上，重点对比了分析力学和牛顿力学的区别，是否有利于理解分析力学在力学发展中的重要地位的问题，进行了调查，结果超过90%的同学们普遍认为通过对比讲授模式，确实是有利于讲授分析力学在力学发展中的里程碑式的作用，如图4所示。
图3 对分析力学和理论力学对比讲授模式效果的评价
图4 对比教学式是否有利于理解分析力学在力学发展中的重要地位
5. 结语
本文基于认知领域的思维模式，结合分析力学课程中固有特点和笔者自身的教学经验，探讨了学生们对分析力学中的理论知识晦涩、内容体系与理论力学相关度高以及应用程度低等问题提出了教学实施方案。旨在从课堂对比模式角度出发，引导学生们多思考多总结，提高分析力学课堂的教学效果，为培养学生们的创新思维和质疑能力提供些许经验。但由于分析力学课程理论难度大等问题使得很多工科学院的分析力学课堂效果并不理想，但遗憾的是，目前分析力学教育工作者对此进行教学课堂的探讨还不够深入。希望通过本文的片面之言可以引起分析力学教育者对课堂效果改革的更多的关注。
参考文献
[1] 梅凤翔. 分析力学的近代发展. 力学与实践. 1987;9(1):10-5.
[2] 梅凤翔. 关于分析力学的定义与内容——分析力学札记之二十五. 力学与实践. 2015;37(2):238-42.
[3] 梅凤翔, 赵跃宇. 中国分析力学 40 年. 中国力学学会现代力学与科技进步学术大会. 2007:428-32.
[4] 郭空明, 朱应敏, 王芳林. 机械专业分析力学的教学内容和授课方法探讨. 教育教学论坛. 2016(11):174-5.
[5] 陈立群. 关于分析力学的定义. 力学与实践. 2014;37(5):634-5.
[6] 赵亚溥. 力学讲义. 2018.
[7] Fowles GR, Cassiday GL. Analytical mechanics: Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole; 2005.
[8] 凤翔, 梅, 端, 力学, 力学. 高等分析力学: 北京理工大学出版社; 1991.
[9] 郭永新, 梅凤翔. 分析力学的辛几何方法. 数学· 力学· 物理学· 高新技术研究进展——2002 (9) 卷——中国数学力学物理学高新技术交叉研究会第 9 届学术研讨会论文集. 2002.
[10] 叶敏. 分析力学: 天津大学出版社; 2001.
[11] 朗道，栗弗席兹. 力学（第五版，李俊峰译）. 北京: 高等教育出版社; 2007.
[12] Feynman R P, Leighton R B, Sands M. The Feynman Lectures on Physics, Volume I. Basic books. 2013.
Discussion on the Classroom Teaching of Analytical Mechanics Based on Comparative Teaching Mode
Yuan Yanan, Yin Yu*, Zhang Zuoqi*
(School of Civil Engineering, Wuhan University, Wuhan, Hubei ,430072)
Based on the multi-level theory of comparative teaching mode and the characteristics of analytical mechanics, this paper puts forward a teaching implementation plan for the problems of obscure theoretical knowledge, high correlation between content system and theoretical mechanics and low application degree. Through the use of three forms of classroom contrast, in the classroom through the way of association contrast to deepen the students to grasp and update the knowledge points, cultivate students' ability to analyze, evaluate and question, so as to achieve the purpose of training innovative talents.
[Keywords] Analytical Mechanics, Contrast Class, Innovation, Challenge
0311-80820729
河北省石家庄市联盟路705号
