线性代数教学改革的思考与实践

    车国凤，张丽丽  

（广东工业大学 数学与统计学院，广东 广州 510520）

[摘  要] 线性代数是大学数学中的一门重要课程，有着广泛的实际应用背景。线性代数主要面向非数学专业学生开设，它的主要特点是概念比较抽象、定理比较复杂且计算比较繁琐，使得学生在学习时候感觉得比较枯燥与困难。为了提升线性代数课程的趣味性，在教学的过程中，可以做如下几个方面的改革：引入混合式教学模式、融入数学史及采用数学结合的教学方法。并且还可以通过一些实例来说明这些改革可以很好地提高学生的学习效率。通过教学实践可知，教学改革对提升学生的学习积极性和提高学生的学习效率都有很大的帮助。

[关键词]线性代数；混合式教学；数学史；数形结合的方法

[基金项目]2021年广东工业大学校级“本科教学工程”项目“基于生活常识促进微积分教学的改革与实践”(广工大教字[2021]71号)；2020年广东省“线下一流课程”项目“高等数学”(粤教高函[2020]16号)；2020年“国家一流本科专业建设点”项目“信息与计算科学”(高教厅函[2021]7号，编号：262531203)。

[作者简介]车国凤（1987—），女，河南信阳人，博士，广东工业大学数学与统计学院，讲师（通讯作者），主要从事大学数学教育、偏微分方程研究； 张丽丽（1978—），女，山东青岛人，博士，广东工业大学数学与统计学院，副教授，主要从事大学数学教育、复杂网络研究。

[中图分类号] G642.0      [文献标识码] A      

2020年12月，国务院总理李克强在主持国家科技领导小组会议上提出，科技创新要把更多的注意力放在加强基础研究、应用基础研究上来，并着力加强对数学等基础学科发展的支持，夯实创新的基础。2021年7月，李克强总理再次强调要加强基础研究， 特别重视数学，因为数学是一切学科的基础。 因此，对数学学科的学习也越来越受到重视。线性代数作为大学数学中的一门重要基础课，其重要性不言而喻。线性代数这门课是中学数学相关知识的延续，但是与中学数学不同的是，它的抽象性更强，逻辑性也更强^[1]。线性代数为土木、机械及自动化等几乎所有的工科专业的学习奠定基础。

一、引言

由于线性代数主要是给非数学类学生开设的课程，且公式、定理等理论推导较多，所以学生学起来会比较吃力和枯燥。特别是，最近这些年来，关于线性代数的改革，使得线性代数的课时缩减了很多。为了完成教学任务，一部分教师只能采取满堂灌的教学方式，使得教师与学生之间进行互动的时间就会大大减少，同时也会让教学过程显得相对比较紧张。另一方面，随着科学技术及网络的发展，很多学生课堂上走神的情形不再只是传统课堂上的打瞌睡和聊天等，而更多的是低头玩手机。尽管老师时常会走下讲台去提醒学生，但这并不能从根本上解决问题。

二、线性代数教学改革措施

1.使用混合式教学模式

混合式教学模式主要指的是线上教学和线下教学相结合的教学模式^[2-4]。近些年来，随着科学技术和信息网络的发展，有很多网络教学资源可以借鉴。如中国大学慕课和Spoc 等学习资源^[5，6]。而且还有大量的学习软件可供选择，如QQ、微信、腾讯会议及雨课堂等。在线性代数的教学中适当地结合一些网络学习资源和学习软件，可以很好地提高学生的学习效率。由于线性代数的内容比较多，且很多内容都比较抽象，再加上近些年来对线性代数的改革，使得其学时也减少了很多，这样为了让学生在有限的时间内很好地掌握教学内容，可以对线上和线下要学习的部分做一下适当的分类。需要指出的是，这里面的分类是非常重要的，要在非常熟悉课程内容的基础上，根据教学内容和学生的学情进行恰当的分类，并在教学的过程中根据学生的学习情况随时做适当的调整。经过初步的研讨可知，在概念的引入，基本性质的介绍及简单的计算等方面可以采取线上教学，如简单的行列式计算、向量的概念介绍及其运算、特征值与特征向量的定义和性质以及二次型的定义等内容。对于一些比较难理解的知识点，采用线下教学，如一些特殊行列式的计算、矩阵的乘法、矩阵的相似对角化等内容。以雨课堂这个教学工具为例，在利用雨课堂学习的过程中，需要有比较好的网络，同时学生需要在手机上安装微信，教师需要一台安装雨课堂的电脑。在上课之前，教师任意打开一个Powerpoint 文档，里面就会自动显示雨课堂，教师可以在里面的慕课视频区域寻找合适的线性代数方面的精品课程提前发送给学生预习，让学生提前了解一些下节课将要学习的知识点或知识点相关的内容，而且里面的视频时间一般不会太长，学生学习起来不会厌烦，还可以随时随地的学习，这样就起到了间接督促学生预习的效果。除此之外，雨课堂还有很多其它的优点值得教师运用，例如可以用它里面的签到功能，教师可以很快地了解学生的出勤情况；在学习的过程中，教师可以在雨课堂里面提前输入一些题目，课堂上让学生作答，之后教师可以在雨课堂直接查看班上每一个学生的作答情况。相比于传统课堂上，提问个别学生，这种线上的模式既省时间又可以提高教学效果。而且学生可以随时发弹幕来表达自己的疑问，教师可以根据学生的问题大致掌握学生的学习情况，进而可以做适当的调整。课程结束后，教师可以根据雨课堂里面的数据，非常详细地了解班里面学生总体的学习情况及每一个学生的学习状况。

2.将数学史融入课堂

由于线性代数比较侧重理论研究，内容相对枯燥，这样学生学习的积极性一般不会很高，为了提高学生的学习兴趣，可以将与线性代数中一些内容相关的名人轶事，穿插到课堂中去^[7]。例如，早期运用矩阵概念的数学家高斯的故事：高斯是一位非常著名的数学家。他在很小的时候就凸显了他极高的数学才华。例如，对于我们中学时代常用的自然数列的求和公式，在高斯发明它之前，都只是一个个数相加得出结果，运算量比较大，但是高斯在研究这个数列时，想出了一个快捷且准确的方法，这便是后来的自然数相加求和公式，这歌公式为更一般的等差数列求和奠定了基础，而且高斯想出此方法时他只有九岁。更为惊奇的是，在他只有三岁的时候，就可以看出他父亲账目里面的错误并可以将其修改过来。高斯在1795年进入格丁根大学学习，当时对是否选择数学专业也很不确定，但鉴于他在数学上已经取得了一些非常大的成就，最后他还是选择了数学专业。事实证明，他的选择是非常正确的。他在大学前两年就在数学上取得了很大的成就。特别地，他发明了二次互反律并解决了困扰数学家两千多年的难题：只用圆规和直尺画出正十七边形。在1798年，高斯直接转入黑尔姆施泰特大学，第二年就直接博士毕业，主要是凭借他在数学上又取得了一个大的突破：证明了代数基本定理。高斯从上大学到博士毕业只用了四年的时间，足以看出他在数学学习上是多么的厉害。高斯从1807年开始就一直格丁根大学工作直到1855年去世。在高斯的一生中，他不仅在数学上取得了很高的成就，还在物理、天文等领域也有很高的造诣。通过实践可知，在课堂上融入一些关于数学家与数学历史等故事，可以极大地提升学生学习线性代数的兴趣，同时对学生数学素养的提高也起到了很好的效果。

3.采用数形结合的方法

由于线性代数内容比较抽象，需要很强的理解能力才可以深刻的去理解其中的一些内容，这对非数学类学生来说是一个比较大的挑战。为了让学生更深入地理解线性代数中的相关内容，教师会采用各种各样的方法，例如，实例法:将线性代数中的概念与已知的内容联系起来，如在讲解行列式概念的时候，先从二元一次线性方程组解的表达式讲起，由其解的形式进而给出二阶行列式的概念。在教学中发现，数形结合的方法在线性代数的学习中起到了很好的作用^[8]。通过图表的形式把线性代数的相关内容表示出来，既可以让学生很清晰的理解其内容，又可以加深学生的印象。下面通过列举一些例子，来显示在线性代数的学习中使用图表的重要性。

 (1)在介绍行阶梯型矩阵、行最简形矩阵及标准形矩阵三者关系的时候，可以用如下图1来表示。从图1中可以很清晰地看出，行阶梯型矩阵包含行最简形矩阵，行最简形矩阵包含标准型矩阵。记住了图1就可以很准确记住上述三种矩阵之间的关系。

图1  不同类型矩阵之间的包含关系

 (2)在介绍任意矩阵、行阶梯型矩阵、行最简形矩阵及标准形矩阵之间转化关系的时候，可以通过如下图2来表示。由图2可知，给定任何一个矩阵，都可以通过有限次初等行变换将其化为行阶梯型矩阵，再经过有限次初等行变换化为行最简形矩阵，最后可以经过有限次初等列变换，化为标准形矩阵，即任何矩阵可以经过有限次初等变换化为标准形矩阵，并且上面的变换都是可逆的。

图2  不同类型矩阵之间的转化关系

(3)在描述矩阵、向量组及线性方程组的解之间关系的时候，可以采用下面的图5来表示。矩阵、线性方程组及向量组是不同章节的内容，学生学完之后不太容易厘清它们之间的关系，但通过图3，可以很清晰地看到：1）矩阵和线性方程组之间的关系可以通过线性方程组的系数矩阵来连接；2）矩阵和有限向量组的关系可以通过矩阵的行向量组或列向量组来连接；3）线性方程组与有限向量组之间的关系可以通过方程组的系数矩阵与常数向量之间的关系来连接；4）有限向量组与无限向量组之间的关系可以通过极大无关组来连接。所以学生要了解矩阵、线性方程组及向量组关系时，只需要记住上面的图形即可，既可以准确记住其主要知识点又不容易混淆其内容。

图3  矩阵、线性方程组与向量组之间的关系

三、结语

传统的线性代数教学模式，主要侧重于教师在课堂上传授教学内容，和学生沟通和交流比较少，很多时候教师不能准确有效地了解学生的学习效果。本文主要描述了笔者在教学的过程中，为了提高教学效果，所做的一些改革，主要体现在以下几个方面：结合当下网络资源，在线性代数的教学中，根据其内容和学生的学情，把教学内容分类，然后将线上教学和线下教学结合起来教学，以雨课堂和慕课为例，说明这种混合式教学模式效果良好；由于线性代数内容比较枯燥，笔者在教学的过程中，会尽量把与教学内容相关的数学故事穿插到教学中去，这样可以极大地提高学生的学习兴趣；由于线性代数中很多内容比较抽象且课时相对较少，内容相对较多，为了让学生更好地去理解和记忆相关内容，在教学的过程中，会通过图形和表格的形式去做一些总结与概括。

[参考文献]

[1]郝志峰.线性代数[M].北京：北京大学出版社, 2019.

[2]董丹,孙艳秋,李新.线性代数代数混合式教学实践[J]. 科技视界,2018(32): 86-87.

[3] 王培.混合式教学模式在“线性代数”课堂的实践[J]. 教育观察, 2017(6): 110-111.

[4]唐素林,浅谈混合式教学模式在法学教育中的运用[J].教育教学论坛,2021(6): 133-136.

[5]段滋明,张艳,陈美蓉,等. 基于慕课网络资源的线性代数混合式教学实践[J].创新应用, 2021(50): 182-183.

[6]文军,曲龙江,刘春林,等.“线性代数”课程内容优化研究及其在MOOC教学中的实践[J].高等教育研究学报, 2021(44): 66-71.

[7]刘伟丽.浅谈数学史与数学教育相结合的意义与作用[J]. 产业与科技论坛, 2021(20): 155-156.

[8]王立刚,王锋，沈艳,等.《线性代数与解析几何》理论知识与MATLAB 实验有机融合的探索[J].教育教学论坛， 2016(16): 178-180.

Consideration and Practice of Teaching Reform of Linear Algebra

CHE Guo-feng, ZHANG Li-li

(School of Mathematics and Statistics, Guangdong University of Technology,  Guangzhou,  Guangdong  510520,  China)

Abstract: Linear Algebra is an important course for university mathematics, which has extensively practical application backgrounds. Linear Algebra is mainly a course for students who are not majoring in mathematics. Its main characteristics are abstract concepts, complex theorems and complicated calculations. As a result, it will make students feel boring and difficult to learn Linear Algebra. In order to improve the interestingness of Linear Algebra, some reforms have been taken in the teaching process, which are mainly stated from the following perspectives: introducing the hybrid teaching model, integrating the history of mathematics and using the method of combing numbers and shapes. Some practical examples have also been listed to illustrate that the above reforms can largely improve the students’  learning efficiency. Through teaching practice, teaching reform is of great help to improve students' learning enthusiasm and their learning efficiency.

Key words: Linear Algebra; Hybrid teaching; history of mathematics; the method of combing numbers and shapes