经管类专业运筹学渐进式教学方法

陆  彪 

（南京航空航天大学 经济与管理学院，江苏 南京211106） 

[摘  要] 运筹学是经济管理类专业的重要专业基础课程之一。根据运筹学的课程特点，本文提出一种“建模-求解-反馈”的渐进式教学方法。建模环节重点培养学生对实际问题建立数学模型的能力，解析环节着重培养学生熟练掌握各种优化方法的逻辑脉络和具体操作，反馈环节则主要强化学生对于模型最优解实际意义的理解。通过该渐进式教学方法，培养学生数学建模能力，引导学生掌握各种优化方法，夯实学生对运筹学的理解，最终实现运筹学的教学目标。

[关键词]运筹学；渐进式教学；经济管理类专业; 教学方法

[基金项目]【2020年度】（国家自然科学基金委）国家自然科学基金，“在线多维退化数据驱动的混联制造系统动态维护调度研究”（52005260）。

[作者简介]陆彪， （1990-）， 男， 湖南衡阳人，博士，南京航空航天大学经济与管理学院，讲师，硕导，研究方向：质量与可靠性。

[中图分类号]  G642.0   [文献标识码] A        

1. 引言

运筹学是经济管理类专业的重要基础课程之一。运筹学致力于解决经济管理领域的决策问题，通过采用定量方法，辅助管理者做出优化决策^[1]。运筹学涉及了十几个分支，如线性规划、运输问题、动态规划、图论与网络计划、决策分析、存储论、排队论等^[2]。各分支都有一套独特的方法体系，各方法体系之间的关联性较弱。从该角度而言，运筹学是一个内涵非常丰富的课程。对于经管专业的学生而言，学好运筹学，掌握其思想和方法，可以为从事经济管理方面的工作或研究打下坚实基础。

由于运筹学包含的分支众多，而且各分支的方法差异较大，因此学好运筹学并非易事。同时，各分支方法都要求建立和解析数学模型，而经管类学生数学功底较弱，这增加了他（她）们学好该门课程的难度。因此，作为经管类专业运筹学的授课老师，必须寻求有效的教学方法以引导学生学好该门课程。事实上，虽然运筹学中各分支方法差异较大，但它们都遵循同样的底层逻辑，即：首先根据实际问题构建数学模型，然后解析模型的最优解，最后根据模型最优解确定问题的最佳方案。这三个环节逐步递进、由浅入深、由易入难，这启发我们采用一种渐进式的教学方法。

渐进式教学是一种应用较广的教学模式。文献调研显示，渐进式教学在初中物理教学^[3]、微生物实验教学^[4]、机械制图课程教学^[5]、国际贸易专业课程教学^[6]、以及在外科门诊临床实习教学^[7]等各层次、各类型的教学中都实现了良好的效果。渐进式教学的核心思想是循序渐进地引导学生对课程进行学习，最终实现良好的教学效果。运筹学遵循着“问题建模-模型解析-最优解反馈”的逻辑，因此非常适合于采用渐进式教学方法。

本文旨在为经管类专业运筹学教学探索一种“建模-解析-反馈”的渐进式教学方法。本文首先分析运筹学教学中存在的问题，然后探索一种“建模-解析-反馈”的渐进式教学方法以应对存在的问题，从而实现经管类专业运筹学的教学目标。

2. 运筹学教学中的问题分析

本人近年来为工商管理专业的学生讲授运筹学，通过观察和交流，发现学生在运筹学的学习中还存在以下突出问题。

一是学生对运筹学的学习兴趣普遍不高。虽然运筹学对工商管理专业学生是一门非常重要的课程，但在教学中发现很多学生没有对运筹学表现出很强的兴趣。通过与学生交流得知，很多学生感觉运筹学是一门偏数学的课程，与自己专业的关联性不是很强。事实上，由于运筹学涉及大量的数学优化问题，在一些学院其被划归在数学学科之下。对于工商管理专业的学生，偏重数学解析的运筹学自然是难以引起他们的兴趣。因此，只有从实际管理问题出发引出数学模型，才能够激发他们的学习兴趣。

二是学生对运筹学存在恐惧心理。运筹学的模型解析以最优化理论作为基础，其中涉及大量的数学推导和计算。工商管理专业学生大多是文科生，数学底子比较薄弱，很难轻易掌握其中的数学解析，从而产生恐惧心理。因此，在数学模型解析的教学中，教师需要倾注更多的心力，探索有效的方法，循循善诱。

三是学生对模型最优解实际意义的认知不深。大多数学生在得到模型最优解后通常不会去思考最优解的实际含义。模型最优解与实际问题最优方案之间存在一定距离。学生需要把最优解“翻译”成最优方案，这样可以帮助他们深入地认识运筹学。

为解决以上问题，在运筹学教学中应该首先以实际问题为牵引，讲授数学模型的构建，其次探索有效方法以讲授数学模型的解析，最后讲授模型最优解对于实际问题的反馈，即采用一种“建模-解析-反馈”的渐进式教学方法。

3. 运筹学渐进式教学方法

运筹学渐进式教学遵循“建模-解析-反馈”三个递进的教学环节，如图1所示。首先从实际问题出发，讲授如何根据实际问题建立数学模型，其次讲授如何解析数学模型获得其最优解，最后讲授如何将模型最优解反馈到实际问题以得到最优方案。

图1 运筹学渐进式教学模式

3.1 建模环节：从实际问题到数学模型

运筹学立足于解决实际问题。对于经管类专业的学生来说，只有让他们意识到运筹学在解决实际问题中的价值，才能激发他们对运筹学的学习兴趣。为此在每个分支教学伊始，选取一个实际问题作为引导案例。一方面引起学生对本分支的学习兴趣，另一方面让学生初步了解本分支将解决哪类问题。例如，在给工商管理专业学生讲授线性规划时，本人用某人力资源规划问题作为引导案例；在讲授运输问题时，用某汽车公司的生产基地与分销中心的运输问题作为引导案例。从课堂情况来看，学生表现了很强的兴趣。

在讲授了引导案例之后，强调需要构建数学模型来解决案例中的问题，引导学生养成建模的意识。在讲授建模过程时，首先引导学生思考三个问题：（1）需要决策什么？（2）目标是什么？（3）有什么约束？在明确这三个问题之后，接下来教导学生如何正确地用数学符号定义决策变量，以及如何正确地用数学公式表示目标函数和约束条件，培养学生对实际问题构建数学模型的能力。譬如对于上述运输问题，引导学生明确，需要决策的是从各生产基地到各分销中心的运输量，目标是使总运输成本最小，约束包括各生产基地的运出量等于其生产量，以及各分销中心的运入量等于其销售量。然后，讲授用表示从产地运输到销地的运输量，用表示目标函数（表示单位物资的运价），用表示从产地的运出量等于其产量，用表示分销中心的运入量等于其销售量，即建立了运输问题的数学模型。

虽然不同的实际问题对应的数学模型不一样，但它们都是由决策变量、目标函数和约束条件三个部分组成。因此，在讲授建模的过程中，着重培养学生的建模意识以及培养他们正确定义决策变量和正确表示目标函数和约束条件的建模能力。

3.2 解析环节：从数学模型到最优解

在建立数学模型之后，需要讲授如何解析数学模型得到其最优解，这是最难的，也是最重要的一个教学环节。实际上，每类数学模型都有对应的优化方法。例如，线性规划模型对应于单纯形算法，运输模型对应于表上作业法，整数规划模型对应于分支定界法或割平面法，最短路模型对应于Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法。这些方法的共同特点是既有逻辑步骤，每个步骤下又有具体操作细节。例如，分支定界算法的逻辑步骤是对线性规划问题进行反复的分支和定界，直至找到整数最优解，而如何分支和如何定界又是操作细节。

本人在教学过程中发现，有些学生能够掌握方法的逻辑步骤，却在操作细节上不熟练；有些学生能够较好地掌握细节，却没法把握方法的整体逻辑步骤。因此，对于优化方法的教学应该使得学生既能把握方法的整体脉络，又能掌握具体的操作细节。在此目标下，对于每种方法可以绘制一个方法流程图，明晰该方法的整体逻辑步骤。例如，图2所示为单纯形算法的流程图。在讲解一种方法的过程中，采用该方法的流程图作为引导。即按照流程图一步一步地讲授，讲到每个步骤时跳到该步骤对应的操作细节进行详细讲解，讲完该步骤下的具体操作之后再跳回到流程图的下一步，依次往下，直至讲完方法。通过此方法让学生既能掌握方法的整体逻辑，又能掌握具体的操作细节。

图 2 单纯形算法流程图

3.3 反馈环节：从模型最优解到问题最优方案

在获得模型最优解之后，需要将模型最优解反馈到实际问题，以获得实际问题的最优方案，形成一个教学闭环。这是最容易的一个教学环节，但也是不可或缺的一个环节，否则就无法形成教学闭环。在这个教学环节中，需要教授学生将模型最优解“翻译”成问题的最优方案。例如，生产计划问题最优解为,其对应的最优生产方案为生产A产品10件，生产B产品20件，生产C产品25件。X的最后两个分量等于0，表示松弛变量或人工变量取值为0，没有实际含义。又例如，表1所示为某运输问题的最优解。通过该最优解可知，，，，,其余的。根据该最优解，可得到最优运输方案为：从产地A₁运往销地B₁物资3个单位，从A₂运往B₁物资1个单位，从A₃运往B₂物资6个单位，其余产销地之间则不进行物资运输。注意到，虽然，但是由于B₄是虚拟的销地，因此实际上A₂并没有生产这1个单位物资，也就不会往B₄运输物资了。通过最后的反馈环节，使学生加深对模型最优解实际意义的理解，也加深对于运筹学思想的理解，有利于夯实学生对于运筹学的学习兴趣，进而提高运筹学的教学效率。

表1 某运输问题的最优解

4.  总结

本文为经管类专业运筹学教学提出了一种“建模-解析-反馈”的渐进式教学方法。该教学方法将运筹学教学划分为“数学建模”、“模型解析”和“最优解反馈”三个环节。这三个环节层层递进，首尾相连，形成一个教学闭环。建模环节着重于培养学生对实际问题建立数学模型的能力，解析环节重点培养学生熟练掌握各种优化方法的逻辑脉络和具体操作，而反馈环节则培养学生对于模型最优解实际意义的理解。通过该渐进式教学模式，激发学生学习运筹学的兴趣，培养学生数学建模能力，引导学生掌握各种优化方法，夯实学生对运筹学的理解，最终实现运筹学的教学目标。

在实施该渐进式教学方法的过程中也会遇到诸多问题。例如，如何根据学生的专业背景选择合适的实际问题，如何应对学生基础和学习能力的个体差异，以及如何在优化方法讲解中避免枯燥和营造积极的学习氛围等。这些问题需要在教学的过程中得到有效解决，才能够保证该渐进式教学实现更好的效果。

[参考文献] 

[1] 郭秀英.经管类专业运筹学教学策略研究[J].西南石油大学学报(社会科学版),2012,14(02):55-59.

[2] 党耀国,朱建军,关叶青.运筹学[M].3版.北京：科学出版社,2015。

[3] 孙祥军.循序渐进  提高素养——“渐进式”教学模式的初中物理教学研究[J].数理化解题研究,2021(32):82-83.

[4] 尹军霞,沈国娟.渐进式研究性教学模式在地方院校微生物实验教学中的探索与实践[J].微生物学通报,2013,40(09):1703-1709.

[5] 何谦.基于渐进式项目驱动的《机械制图》课程教学研究[J].机械管理开发,2010,25(04):170-171+173.

[6] 谢光华.论渐进式双语教学在国际贸易专业课程教学中的运用[J].山西经济管理干部学院学报,2010,18(03):122-124.

[7] 赵洪伟,韩波,潘剑,李龙江.渐进式教学在口腔颌面外科门诊临床实习教学中的应用[J].西北医学教育,2010,18(02):391-393.

A progressive teaching method for operations research of economic and management specialty

Abstract: Operations research is one of the important professional basic courses of economics and management specialty. Based on the characteristics of operations research, this paper proposes a “modeling-solving-feedback” progressive teaching method. The modeling step is aimed to cultivate studies’ capacity of developing mathematical models for practical problems. The solving step is aimed at make students mater the logic and technical details of various optimization methods. The feedback step is aimed at enhance the students’ understanding of practical meanings of models’ optimal solutions. Through this progressive teaching method, we intend to cultivate studies’ capacity of mathematical modeling and to guide studies to master various optimization methods and to enhance studies’ understanding of operations research. This will finally lead to achieving the teaching goals of operations research.

Key words: operations research; progressive teaching; economics and management specialty; teaching method.