常微分方程理论在数学物理方程课程中的应用 

危苏婷

（华南农业大学   数学与信息（软件）学院   广东广州  510642）

[摘  要]偏微分方程求解是数学物理方程课程教学的主体内容，亦是课堂教学的重难点。求解偏微分方程的方法有很多，如特征线法、波的反射原理、分离变量法、格林函数法、傅里叶变换、拉普拉斯变换等等。学会求解一些简单的偏微方程是数学专业学生学好数学物理方程课程乃至为以后继续深造打下基础的关键。因此，揭示偏微分方程求解方法中所蕴含的数学思想，帮助学生系统而深入地掌握求解的方法显得尤为重要。在本文中，我们将以方程特殊形式解的求解、分离变量法、傅里叶变换方法为例，结合具体的定解问题求解来阐述将偏微分方程问题化归为常微分方程问题这一思想在偏微分方程求解中的应用。

[关键字]研究型教学；数学物理方程课程；常微分方程理论

[基金项目]华南农业大学2020年校级线下课程建设项目--数学分析(华南农教[2020]32号)。

[作者简介]危苏婷(1990-)，女，江西瑞金人，理学博士，华南农业大学，数学与信息（软件）学院，讲师，研究方向：偏微分方程

[中图分类号]O175.24      [文献标识码]A        [文章编号]         [收稿日期]2020-12-10

一、引言

数学物理方程课程是数学与应用数学专业的一门重要专业课，同时也是物理、力学等理工科专业的基础课程。该课程的研究对象是一些具有实际应用背景的偏微分方程。课程的主要内容包括：介绍如何将物理、力学和工程技术等应用学科中的现象和实际问题通过数学建模的过程转化为偏微分方程定解问题，求解这些定解问题的基本方法，研究解的性质的技巧，利用理论分析结果来解释一些物理现象或解决实际问题。作为一门应用性较强的课程，数学物理方程课程的教学目标不仅需要让学生理解和掌握偏微分方程的基本概念、求解方法和理论，更应培养学生运用数学工具解决实际问题的能力，从而提高学生的科学素养。在本科生课堂教学中，如何教会学生求解偏微分方程是教学的一大重点及难点。实际上，求解一些简单的偏微方程的方法有很多，如特征线法、波的反射原理、分离变量法、格林函数法、傅里叶变换、拉普拉斯变换等等。系统掌握这些方法的关键在于深刻理解其中所蕴含的数学思想。本文将从特殊形式解的求解、分离变量法、傅里叶变换方法为例，结合具体的定解问题求解来展示将偏微分方程问题化归为常微分方程问题这一思想在偏微分方程求解中的应用，并启发学生深入思考以下问题：为什么常微分方程理论可以应用于求解偏微分方程？利用分离变量法求解偏微分方程的关键点是什么？傅里叶变换作为一种特殊的积分变化为什么可以用于求解偏微分方程？等等。对这些问题进行深入的探讨，不仅可以使学生加深对偏微分方程知识的理解，还有助于他们发现和深刻认识所学的不同数学知识之间的内在来联系，进一步提升自己的数学能力。

二、具体实例

在数学物理方程课程中，将偏微分方程转化为常微分方程进行处理是求解偏微分方程问题的常用思想之一。由此可见常微分方程理论在求解偏微分方程中起着至关重要的作用。下文将从求特殊形式的解、分离变量法、傅里叶变换三个方面介绍常微分方程理论在求解偏微分方程问题中的应用并分析其本质思想。

（一）求偏微分方程的特解

数学物理方程这门课程主要研究三类经典的偏微分方程，即波动方程（双曲型方程）、热传导方程（抛物型方程）和拉普拉斯方程（椭圆型方程）。掌握这三类方程的求解方法是数学物理方程课程学习的重点之一。众所周知，对于大部分的数学物理方程，我们都无法求出其精确的解析解。但是对于一些方程，我们可以找到具有某种特殊形式的解，如行波解、自相似解、径向对称解等。对这些特解的研究有助于我们更好地了解方程解的性态，进而解释方程所描述的物理现象。下面通过实例说明在求解三类经典偏微分方程的某些特解时，往往需要借助常微分方程理论。

例1．求解齐次波动方程的柯西问题

解：首先，利用特征线方法可以将方程化为第一标准型。即引入自变量变换，，则方程可变换为。由此可知不依赖于变量，于是。因此，利用自变量变换可将齐次波动方程转化为非齐次常微分方程。由常微分方程理论可知

。

回到坐标，齐次波动方程的通解为。结合初始条件可得柯西问题的达朗贝尔公式。

例2．求一维热传导方程的自相似解。

解：假设方程存在自相似解。记，通过计算可知：

，，。

将，的具体表达式代入方程可知满足如下变系数的二阶常微分方程：

。

进一步，可改写为。由常微分方程理论[2]可知。假设当趋于时，,可知。因此，，即。将等式两边积分可得，其中为任意常数。那么，原方程的解为。

例3．求椭圆型偏微分方程的径向对称解。

解：如果方程的解是径向对称的，即，。方程可化简为如下常微分方程。记，则。由此解得，其中，是任意常数。因此，得到方程的特解。

在上述3个例子中，我们分别研究了三个经典偏微分方程解的存在性。从中我们可以看到，如果假设方程的解满足某种不变性(如传输不变性、自相似性和对称不变性等)，则其对应的偏微分方程问题可以简化为相应的常微分方程问题。这样我们便可利用常微分方程理论求得原偏微分方程问题的某种特殊形式解。值得指出的是，以上例子我们得到的结果分别为波动方程的泊松公式、热核函数和拉普拉斯算子方程的基本解。这些内容都对于研究复杂的非线性偏微分方程有着非常重要的作用。

（二）分离变量法

分离变量法是求解偏微分方程初边值问题的一个重要方法，通俗地说，其核心想法是将方程的解(多元函数)的变量进行分离，即写成若干个只依赖于一个变量的函数之积，由此将偏微分方程的定解问题简化为若干个常微分方程的边值问题。下面我们以弦振动方程的定解问题为例来具体说明这一思想。

例4．求，，满足定解条件：

解：假设解具有形式，其中，均不为零。将之代入原方程，得。于是，其中为某一常数。故原始问题可简化为求解关于的常微分边值问题：

                     ，，            (1)

以及的常微分方程：。                          (2)

首先考虑特征值问题(1)。

当时，，其中，是任意常数。由所满足的边界条件知：并且。由此，等于零。从而恒等于零。此时特征值问题(1)没有非平凡解。

当时，的通解为，由所满足的边界条件知，。所以，等于零。从而恒等于零。此时特征值问题(1)也没有非平凡解。

当时，。由边界条件知，。此时不能再取为零，否则为平凡解。故，从而有以及。

将代入问题(2)，得，其中,是任意常数。故对任意的和，

满足原方程及其边界条件。由齐次方程的线性叠加原理，可得原问题的解。由初值条件得以。因此，。故原问题的解为。

分离变量法是求解偏微分方程的混合问题的一个最普遍的方法，它不仅适用于热传导方程，同时也适用于求解波动方程、调和方程，以及一些形式复杂的方程(组)。通过例4可以发现，利用分离变量法求解偏微分方程的定解问题，可以将问题归结为求解常微分方程特征值问题。例4中所对应的特征值问题的特征函数是三角函数，根据定解条件，需要将解函数按特征函数展开为无穷级数，即标准傅里叶级数。对于一些特殊的变系数常微分方程，其特征函数可能不是三角函数，而是贝塞尔函数、勒让德函数等其它函数，此时按特征函数展开的方法依然成立。因此，在学习过程中复习和巩固常微分方程求解方法，熟悉特征值、特征函数以及按特征函数展开等知识点，有助于理解和运用分离变法求解偏微分方程。值得注意的是，利用分离变量法求得的方程的解是关于具有变量分离形式的因子的无穷级数求和，根据泛函知识可以知道，我们最后得到的解并不一定具有变量分离的形式。此外，在分离变量法的基础上，人们后来发展了伽辽金方法(Galerkin method)。此方法是目前证明非线性偏微分方程一般形式解的存在性的基本方法之一。

（三）傅里叶变换方法

傅里叶变换在数学领域和工程技术方面都有着广泛的应用。作为数学工具，傅里叶变换是求解偏微分方程的用力工具。对于初学者自然会有如下疑惑：为什么能够利用傅里叶变换来求解偏微分方程？本质思想是什么？具体的思路是怎样的？等等。为了更好的回答这些疑问。首先，我们简单回顾傅里叶变换的定义及其相关性质[3]。

定义：若函数，则对任意，积分有意义，我们称它为的傅里叶变换，记为。

线性性质：若，则对任意常数，，有。

微商性质：若，则

，。

更多关于傅里叶变换的定义及相关性质请见文献[1]。利用傅里叶变换求解偏微分方程的关键在于通过傅里叶变换可将方程中的求导运算转变为乘积运算，即上述微商性质。因此，傅里叶变换法本质上是将线性偏微分方程问题转化为常微分方程问题来求解。故常微分方程理论是傅里叶变换方法的基石。下面简单介绍利用傅里叶变换方法求解偏微分方程的具体步骤。

例5.求解偏微分方程

解：第一步：利用傅里叶变换化偏微分方程为常微分方程；

将方程和定解条件关于空间变量做傅里叶变换，由傅里叶变换的线性性质和微商性质可知满足如下方程

                         (3)

第二步：求解常微分方程边值问题(3)；

由常微分边值方程理论，可知。

第三步：对常微分方程(3)的解取傅里叶逆变换，从而得到原方程的解；

由傅里叶逆变换定义可知，因此

三、总结

本文借助实例阐述了将偏微分问题化归为常微分问题这一思想在偏微分方程求解中的应用，架构了偏微分方程课程与常微分方程理论之间的桥梁。本文所采用的实例是基于三个基本的数学物理方程，但又相对接近于偏微分方程研究的前沿。比如，与方程特殊形式解的求解密切相关的行波解研究和剪切流研究(行波解和剪切流都是特殊形式解)一直是偏微分方程领域的热门课题；傅里叶变换方法所涉及的傅里叶分析工具在当前偏微分方程研究中发挥着重要的作用。数学物理方程作为一门兼具较强的专业性和应用性的课程，无论在纯粹数学还是应用数学上都发挥着越来越重要的作用。但由于该课程内容非常丰富、问题求解方法非常多样、涉及的计算非常繁琐，需要的数学工具也十分复杂，初学者往往会感到难以适应，继而望之生畏。

因此如何透过抽象的概念和复杂的计算，让学生更好地领悟课程的精髓显得极其重要。为此，在数学物理方程课程的教学过程中必须深入浅出，注重剖析各类方程的特征，比较各种方法的异同，以及提炼解决问题的核心思想。

此外，在具体教学中还应尽可能多地将偏微分方程理论与常微分方程、泛函分析、积分变换等课程内容串联起来，启发学生独立思考和联想迁移，这样不仅可以提高学生分析和解决问题的能力，也能培养学生融会贯通和探索发现的能力。

[参考文献]

[1] 谷超豪,李大潜,陈恕行等.数学物理方程[M].北京:高等教育出版社,2012.

[2] 丁同仁.常微分方程教程[M].北京:高等教育出版社,1991.

[3] 朱长江,邓引斌.偏微分方程教程[M].北京:科学出版社,2005.

Application of Ordinary Differential Equation Theory

in the course of Mathematical Physics Equation

WEI Su-Ting

（College of Mathematics and Informatics, South China Agricultural University, Guangzhou, Guangdong, 510642, China）

Abstract: Solving partial differential equations is the main content of mathematical physics equations, and it is also the most challenging point. There are many methods for solving partial differential equations, such as characteristic line method, wave reflection principle, variable separation method, Green function method, Fourier transforms, Laplace transforms, etc. Learning to solve some simple partial differential equations is the key for mathematics students to understand mathematical physics equations and lay the foundation for further studies. Therefore, it is crucial to reveal the mathematical ideas in solving partial differential equations and help students master the technique of solving systematically and deeply. This article will use some examples to illustrate the ideas of reducing the partial differential equation problem to the ordinary differential equation problem Application in solving partial differential equations.

Key words: research-oriented teaching; Mathematical Physics Equation Course; Ordinary Differential Equation Theory